Por Fábio Izidio em 11/06/2024
Teorema: Dado um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos, isto é, \(a^2 = b^2 + c^2\).
Exemplo 1: Considere um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 7 cm e 10 cm. A medida da sua hipotenusa decorre do teorema de Pitágoras:
Solução:
\[ \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 \to \\ a^2 &= 7^2 + 10^2 \to \\ a^2 &= 49 + 100 \to \\ a^2 &= 149 \to \\ a &= \sqrt{149} \text{ cm.} \end{align*} \]Dado o triângulo retângulo a seguir, e destacado o ângulo \(\alpha\), a nomeação dos seus lados se dá conforme representado.
Nestas condições, definimos as seguintes razões trigonométricas:
\(\text{seno} = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\text{cosseno} = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\text{tangente} = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}\)
| 30º | 45º | 60º | |
| \(\mathrm{sen}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\mathrm{tg}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
Exemplo 2: Determine a altitude de um avião sabendo que o mesmo percorreu 2 km em linha reta sob uma inclinação de 45º em relação a pista de pouso.
Solução:
\[ \begin{align*} \mathrm{sen}\,45^\circ &= \dfrac{H}{2}\to \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} &= \dfrac{H}{2}\to\\ H &= \sqrt{2}\text{ km} \quad \text{ou} \quad H \approx 1,41\text{ km} \end{align*} \]Exemplo 3: Sabendo que \(\mathrm{sen}\alpha \approx 0,1234\) e \(\cos\alpha \approx 0,9924\), determine o valor aproximando de \(\mathrm{tg}\alpha\).
Solução:
\[ \begin{align*} \mathrm{tg}\alpha &= \dfrac{\mathrm{sen}\alpha}{\cos\alpha}\to\\ \mathrm{tg}\alpha &\approx \dfrac{0,1234}{0,9924}\to\\ \mathrm{tg}\alpha &\approx 0,1243 \end{align*} \]Exemplo 4: Dado que \(\mathrm{sen} \beta = \dfrac{1}{6}\), determine o valor de \(\cos \beta\).
Solução:
\[ \begin{align*} \cos^2 \beta + \sin^2 \beta &= 1 \to \\ \cos^2\beta + \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 &= 1 \to \\ \cos^2\beta + \dfrac{1}{36} &= 1 \to \\ \cos^2\beta &= 1 - \dfrac{1}{36} \to \\ \cos^2\beta &= \dfrac{36}{36} - \dfrac{1}{36} \\ \cos^2\beta &= \dfrac{36 - 1}{36} \to \\ \cos^2\beta &= \dfrac{35}{36} \to \\ \cos\beta &= \sqrt{\dfrac{35}{36}} \to \\ \cos\beta &= \dfrac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}} \to \cos\beta = \dfrac{\sqrt{35}}{6} \end{align*} \]