Pelo Professor Fábio Izidio, em 18/06/2024.
Capital (\(C\)): Quantia de dinheiro disponível, valor que está sendo investido ou emprestado.
Juros (\(J\)): Remuneração recebida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo. Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
Prazo (\(n\)): Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado.
Montante (\(M\)): Soma do capital aplicado ou emprestado mais juros (\(M = C + J\)).
Taxa de juros (\(i\)): É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital (\(i = \frac{J}{C}\)). A cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, ou quanto o investidor irá receber pelo dinheiro investido, em um determinado período. Ela pode se apresentar de dois modos:
Forma percentual, seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
19% a.a. (a.a. significa ao ano).
3% a.t. (a.t. significa ao trimestre).
Forma unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo (%):
0,23 a.m. (a.m. significa ao mês).
0,75 a.q. (a.q. significa ao quadrimestre).
\({\color{blue}50}\% = \dfrac{\color{blue}50}{100}\)
\({\color{blue}0,45}\% = \dfrac{\color{blue}0,45}{100}\)
\({321{\color{red},}9}\% = 3{\color{red},21}9\) (deslocamento da vírgula igual a duas casa decimais a esquerda)
\(86{\color{red},}4\% = 0{\color{red},86}4\)
\(23\% = 23{\color{red},}0\% = 0{\color{red},23}{\color{blue}\xcancel{\color{black} 0}} = 0{\color{red},23}\)
\(4\% = 4{\color{red},}0\% = 0{\color{red},04}{\color{blue}\xcancel{\color{black} 0}} = 0{\color{red},04}\)
\(0{\color{red},}71\% = 0{\color{red},00}71\)
Questão 1: Converta 35,8% para a forma unitária.
Questão 2: Passe 0,321% para a forma unitária.
No campo da matemática financeira, a porcentagem é usada, por exemplo, para calcular descontos, lucros e juros (tanto simples quanto compostos). Assim, a porcentagem está envolvida na maioria das nossas transações financeiras. Devido à sua relevância, vamos revisar o conceito de porcentagem utilizando dois exemplos do mundo financeiro, para então definir os conceitos específicos dessa área da matemática.
\[P = C \cdot i \text{, onde } \begin{cases}P \text{ (porcentagem)}\\ C \text{ (capital)}\\ i \text{ (taxa)}\end{cases}\]Exemplo 1: Calcule 15% de R$ 12345,00.
Solução:
\[ \begin{align*} P &= C\cdot i \to \\ P &= 12345,00\cdot 15\% \to \\ P &= 12345,00\cdot 0,15 \to \color{blue}P = 1851,75\,\text{ reais.} \\ \end{align*} \]Questão 3: Calcule 28% de R$ 5000,00.
Questão 4: Determine 32% de R$ 7531,00.
Exemplo 2: Qual a taxa percentual que estabelece a razão entre R$ 500,00 e R$ 2500,00?
Solução: Utilizemos a regra-de-três simples para obtermos o valor:
\[ \begin{matrix} \text{\bf valor (reais)} & \text{\bf taxa (\%)} \\ 2500 & 100\\ 500 & x \end{matrix} \]Assim,
\[ \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{500}{2500} \to\\ x &= \dfrac{500}{2500} \cdot 100 \to \\ x &= \dfrac{50000}{2500} \to \color{blue}x = 20\% \end{align*} \]Alternativamente, podemos utilizar a relação \(P = C \cdot i\):
\[ \begin{align*} P &= C \cdot i \to \\ 500 &= 2500 \cdot i \to \\ i &= \dfrac{500}{2500} \to \\ i &= 0,20 \to \color{blue} i = 20\% \end{align*} \]Questão 5: Qual a taxa percentual que estabelece a razão entre os valores R$ 230,00 e R$ 920,00?
Questão 6: Determine a taxa percentual que estabelece a razão entre os valores R$ 3456,80 e R$ 8642,00.
Aumento e desconto se dá ao atualizarmos um capital acrescentando ou removendo uma certa porcentagem do mesmo. Pode ser calculado a partir de uma das seguintes equações:
\[V_F = C \pm P \quad\text{ ou }\quad V_F = C \cdot (1 \pm i)\]Exemplo 3: Um funcionário de determinada empresa recebe como salário a quantia de R$ 3500,00. Com o tempo, seu patrão resolveu lhe dar um aumento salarial de 20%. Qual a quantia que esse funcionario passou a receber após este aumento?
Solução: Primeiramente, calculamos a porcentagem que aumentará o salario desse ffuncionario:
\[ \begin{align*} P &= C \cdot i \to \\ P &= 3500 \cdot 0,20 \to \color{blue}P = 700 \text{ reais.} \end{align*} \]Agora calculemos o valor do noo salário:
\[ \begin{align*} V_F &= C + P \to \\ V_F &= 3500 + 700 \to \color{blue}V_F = 4200,00 \text{ reais.} \\ \end{align*} \]Solução alternativa:
\[ \begin{align*} V_F &= C\cdot(1 + i) \to \\ V_F &= 3500\cdot (1 + 0,20) \to \\ V_F &= 3500\cdot 1,20 \to \color{blue}V_F = 4200,00 \text{ reais.} \\ \end{align*} \]Questão 7: Uma pizza de carne-do-sol custava R$ 35,00 em determinada pizzaria, porém, sofreu um aumento de 25% no seu preço. Qual o novo preço dessa pizza?
Questão 8: A fatura de energia em certa residência no mês passado custou R$ 150,00. Porém, no mês atual, ela veio com um desconto de 5%. Qual o valor dessa fatura no presente mês?
Exemplo 4: Uma blusa custava R$ 80,00 e com um desconto dado passou a custar R$ 65,00. Quanto foi a taxa de desconto (forma percentual)?
Solução:
\[ \begin{align*} V_F &= C\cdot (1 - i) \to \\ 65 &= 80 \cdot (1 - i) \to \\ 1 - i &= \dfrac{65}{80} \to \\ 1 - i &= 0,8125 \to \\ i &= 1 - 0,8125 \to \\ i &= 0,1875 \to \color{blue} i = 18,75\% \end{align*} \]Solução alternativa: Para isso, calculamos inicialmente o valor do desconto que, neste caso, custa \(80 - 65 = 15\) reais.
Agora, através de uma regra-de-três simples obteremos o valor da taxa de desconto:
\[ \begin{matrix} \text{\bf valor (R\$)} & \text{\bf taxa (\%)} \\ 80 & 100\\ 15 & x \end{matrix} \]Logo, temos que:
\[ \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{15}{80} \to \\ x &= \dfrac{15}{80} \cdot 100 \to \\ x &= \dfrac{1500}{80} \to \color{blue} x = 18,75\% \\ \end{align*} \]Questão 9: Uma confeitaria vende um bolo de chocolate por R$ 40,00. Certo dia, aplicou no valor do mesmo um desconto de forma que o novo valor passou a ser R$ 35,00. Qual a taxa percentual de desconto?
Questão 10: Uma saca de cimento custava, em certo depósito, R$ 30,00. Porém, seu preço foi para R$ 32,50. Determine a taxa percentual de aumento.
É possível calcular aumentos e descontos sucessivamente sempre aplicando o princípio anteriormente exposto ao último valor atualizado. Para resumir tal conceito, pode-se aplicar a seguinte formula:
\[V_F = C \cdot (1 \pm i_1) \cdot (1 \pm i_2) \cdot \ldots \cdot (1 \pm i_k)\]onde o fenômeno ocorre em \(k\) etapas sucessivas e (\(+\)) e (\(-\)) indicam um aumento e um desconto, respectivamente.
Exemplo 5: Em certo supermercado o preço do litro de leite era de R$ 4,50. Nos meses seguintes o mesmo sofreu variações de +2%, +3%, -1%, +4% e -2%, respectivamente. Qual o valor do litro de leite que o supermercado passou a vender no fim do periodo?
Solução:
\[ \begin{align*} V_F &= C \cdot (1 {\color{green} + i_1}) \cdot (1 {\color{green} + i_2}) \cdot (1 {\color{red} - i_3}) \cdot (1 {\color{green} + i_4}) \cdot (1 {\color{red} - i_5}) \to \\ V_F &= 4,50 \cdot (1 {\color{green} + 0,02}) \cdot (1 {\color{green} + 0,03}) \cdot (1 {\color{red} - 0,01}) \cdot (1 {\color{green} + 0,04}) \cdot (1 {\color{red} - 0,02}) \to \\ V_F &= 4,50 \cdot ({\color{green} 1,02}) \cdot ({\color{green} 1,03}) \cdot ({\color{red} 0,99}) \cdot ({\color{green} 1,04}) \cdot ({\color{red} 0,98}) \to \\ V_F &= 4,50 \cdot 1,0600638048 \to \color{blue} V_F \approx 4,77 \text{ reais.} \end{align*} \]Questão 11: Em certo posto de combustíveis, o litro da gasolina custava R$ 6,10. Porém, o mesmo sofreu reajustes sucessivos de +1%, -3%, +4% e -2%, respectivamente. Qual o novo custo da gasolina nesse posto?
Questão 12: Em uma determinada cidade a passagem de ônibus era de R$ 4,00 e sofreu durante os três meses seguintes reajustes de +3%, respectivamente. No final do período, quanto passou a custar a passsagem?
É o aumento sucessivo de capital a uma taxa fixa, de forma que em cada etapa do período da operação tal aumento é constante, pois este incide unicamente no capital aplicado.
Exemplo 6: Um capital de R$ 300,00 foi aplicado sob regime de juros simples a uma taxa de 2% ao mês por um período de 8 meses. Qual o juros acumulado no período?
Solução:
\[ \begin{align*} J &= C \cdot i \cdot t \to \\ J &= 300 \cdot 0,02 \cdot 8 \to \color{blue} J = 40 \text{ reais.} \end{align*} \]Questão 14: Qual o juros cobrado, sob regime simples, sobre um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 3,5% a.m. por um período de 3 meses?
Questão 15: Foi cobrado uma taxa de 4% a.m. sobre um valor de R$ 1000,00 por um prazo de 11 meses sob regime de juros simples. Qual o juros resgatado no final do prazo?
Exemplo 7: Um capital de R$ 530,00 rendeu um jusos de R$ 85,00 em 5 meses sob regime de juros simples. Qual a taxa percentual mensal de juros?
Solução:
\[ \begin{align*} J &= C \cdot i \cdot t \to \\ 85 &= 530 \cdot i \cdot 5 \to \\ 85 &= 2650 \cdot i \to \\ i &= \dfrac{85}{2650} \to i \approx 0,032 \to \color{blue} i \approx 3,2\% \end{align*} \]Questão 16: Sob o regime de juros simples, um capital de R$ 200,00 rendeu R$ 30,00 de juros em 4 meses. Determine a taxa percentual de juros mensal.
Questão 17: Em quanto meses, um capital de R$ 2500,00 rende R$ 100,00 a uma taxa de 2% ao mês em regime de juros compostos?
É a soma entre o capital e o juros, representando o valor total a ser resgatado em uma aplicação financeira.
\[M = C + J, \text{onde } \begin{cases}M \text{ (montante)}\\ C \text{ (capital)}\\ J \text{ (juros)}\end{cases}\]Exemplo 8: Qual o montante a ser resgatado em uma aplicação de juros simples cujo capital é de R$ 400,00 a uma taxa de 3% a.m. durante um prazo de 13 meses?
Solução: Primeiramente, calculamos o juros do período:
\[ \begin{align*} J &= C \cdot i \cdot t \to \\ J &= 400 \cdot 0.03 \cdot 13 \to \color{blue} J = 156 \text{ reais.} \end{align*} \]Em seguida, calculamos o montante:
\[ \begin{align*} M &= C + J \to \\ M &= 400 + 156 \to \color{blue} M = 556 \text{ reais.} \\ \end{align*} \]Questão 18: Um capital de R$ 650,00 foi aplicado a juros simples a uma taxa de 2,4% ao mês por um prazo de 6 meses. Determine o montante a ser resgatado no fim do prazo.
Questão 19: Qual o montante obtido ao se aplicar, sob regime de juros simples, um capital de R$ 4321,00 por um prazo de 11 meses a uma taxa de 4,5% ao mês?
É o aumento sucessivo de capital a uma taxa fixa, de forma que em cada etapa do período da operação tal aumento é variável, pois este incide sempre nomontante atualizado.
Exemplo 9: Qual o montante produzido ao se aplicar, sob regime de juros compostos, um capital de R$ 2000,00 a uma taxa de 4% ao mês num prazo de 18 meses?
Solução:
\[ \begin{align*} M &= C\cdot (1 + i)^t \to \\ M &= 2000 \cdot (1 + 0,04)^{18} \to \\ M &= 2000 \cdot 1,04^{18} \to \\ M &= 2000 \cdot 2,0258165153785326 \to \color{blue} M \approx 4051,63 \text{ reais.}\\ \end{align*} \]Questão 20: Determine o montante de uma aplicação feita a juros compostos de uma quantia de R$ 900,00 a uma taxa de 5% a.m. por um prazo de 7 meses.
Questão 21: Quanto será o montante resultante da aplicação, a juros comopostos, de um valor de R$ 1234,50 a uma taxa de 2,3% ao mês em um prazo de 9 meses?
Exemplo 10: Obtenha o juros a ser resgatado, em regime composto, após a aplicação de um capital de R$ 9500,00 num prazo de 12 meses a uma taxa de 5% ao mês.
Solução: Primeiramente, calculamos o montante no regime de juros compostos:
\[ \begin{align*} M &= C \cdot (1 + i)^t \to \\ M &= 9500 * (1 + 0,05)^{12} \to \\ M &= 9500 * 1,05^{12} \to \\ M &= 9500 * 1,79585632602213 \to \color{blue} M = 17060,64 \text{ reais.} \end{align*} \]Em seguida, calculamos o juros:
\[ \begin{align*} J &= M - C \to \\ J &= 17060,64 - 9500,00 \to \color{blue} J = 7560,64 \text{ reais.}\\ \end{align*} \]Questão 22: Determine o juros a ser resgatado após aplicarmos R$ 450,00 a uma taxa de 2% ao mês por um prazo de 5 meses, sob regime de juros compostos.
Questão 23: Quanto será o juros acumulados em um prazo de 8 meses após a aplicação de R$ 700,00 a uma taxa mensal de 3%, sob regimende juros compostos?